Définition :
Soit \(a\in{\Bbb R}^n\)
Soit \(U\) \(\in\mathcal V(a)\) ouvert
On dit que \(f_1,\dots,f_n\) des fonctions de \(U\) forment un changement de coordonnées local si \(f:U\to{\Bbb R}^n\) définie par \(f(x)=(f_1(x),\dots,f_n(x))\) est un \(\mathcal C^1\)-difféomorphisme de \(V\in\mathcal V(a)\) ouvert sur \(\phi(V^\prime)\)
(Théorème des fonctions implicites)
Remarque :
\((f_1,\dots,f_n)\) forment un changement de coordonnées local sur \(U\) si et seulement si \(\operatorname{det}(D_f)\ne0\)
(Jacobienne)
Propriétés
Complétion
Proposition :
Soient \(f_1,\dots,f_p:{\Bbb R}^n\to{\Bbb R}\) (avec \(n\gt p\)) de classe \(\mathcal C^1\) au voisinage de \(a\)
On peut compléter cette famille par \(f_{p+1},\dots,f_n\) définies au voisinage de \(a\) pour que \(f_1,\dots,f_n\) forme un changement de coordonnées local si et seulement si \((df_1(a),\dots,df_p(a))\) forme une famille libre
(caractérisation : \(df(a)\) est surjective avec \(f=(f_1,\dots,f_p)\))
(Différentiabilité)
